Sketches

Curve generate dal movimento di un punto su un cerchio che rotola all'interno di un cerchio più grande. Cambiando il rapporto dei raggi (r/R) e la distanza dal centro (d/r) si ottengono stelle, astroidi, ipocicloidi perfetti o spirografi infiniti. La stessa meccanica è alla base del giocattolo Spirograph.

Simili alle ipocicloidi, ma il cerchio rotola all'esterno dell'altro. Producono rose, stelle a punte acuminate e spirali avvolgenti. La traiettoria di un punto su un cerchio che orbita attorno a un altro — la stessa matematica usata per descrivere le orbite planetarie nel modello tolemaico.

Curve polari definite da r = cos(k·θ). Il parametro k determina il numero di petali: dispari → k petali, pari → 2k petali. Se k è un numero razionale p/q la curva si chiude dopo p·q giri, creando pattern simmetrici complessi. Un numero irrazionale genera una spirale che non si chiude mai.

La composizione di due oscillazioni sinusoidali perpendicolari. Il rapporto tra le frequenze a:b determina la forma: 1:1 produce ellissi e cerchi, 1:2 produce figure-8 e bowtie, rapporti più complessi generano nodi intrecciati. Usate nell'elettronica per misurare frequenze prima degli oscilloscopi digitali.

Simulazione di una macchina fisica a doppio pendolo: due oscillatori smorzati che guidano una penna su carta. Il decadimento esponenziale (parametro d) porta la traccia a spiralare verso il centro. Strumento popolare nel XIX secolo nei salotti vittoriani per creare disegni ornamentali.

Sistemi dinamici caotici che tracciano la traiettoria di milioni di particelle attraverso equazioni semplici (De Jong, Clifford). Piccole variazioni nei parametri producono pattern radicalmente diversi — bellissimi e imprevedibili. Sono frattali: strutture autosimili a qualsiasi scala di zoom.

Grammatiche formali inventate dal botanico Aristid Lindenmayer nel 1968 per descrivere la crescita delle piante. Una stringa iniziale (assioma) viene riscritta iterativamente secondo regole semplici. A ogni iterazione emerge struttura frattale — foglie, rami, fiocchi di neve, tappeti di Sierpiński.

N punti disposti su un cerchio vengono collegati secondo la regola i → (i × k) mod N. Al variare di k emergono cardioidi, nefroidi, astroidi e rose. La stessa struttura matematica delle tavole pitagoriche, trasformata in geometria visiva. Semplice da spiegare, sorprendente da guardare.

Due o tre sorgenti puntiformi emettono onde circolari sincronizzate. Dove le creste si sovrappongono l'intensità raddoppia (interferenza costruttiva); dove cresta incontra valle si annullano (interferenza distruttiva). Lo stesso fenomeno che produce i colori dell'iride, i pattern radar e la fisica quantistica.

Qualsiasi curva chiusa può essere scomposta in una somma di cerchi rotanti — gli epicicli. La Trasformata di Fourier Discreta calcola ampiezza, frequenza e fase di ciascun cerchio. Con abbastanza termini, i cerchi disegnano perfettamente il profilo originale. La matematica alla base di audio, immagini e compressione JPEG.

Migliaia di particelle seguono un campo vettoriale generato da rumore frattale (noise di Perlin). Ogni punto dello spazio ha un angolo preferito: le particelle lo seguono lasciando scie luminose. Il risultato è un fluido immaginario che forma correnti, vortici e strutture emergenti mai identiche due volte.